1차시 · AI는 그림을 어떻게 볼까? (행렬에서 인공지능으로)

1. 그림은 행렬이다

컴퓨터는 그림을 눈으로 보지 않아요. 칸마다 숫자를 붙여서 봅니다.

아래 5×5 칸에 내가 그리고 싶은 모양을 자유롭게 그려 보세요. 글자, 하트, 웃는 얼굴 무엇이든 좋아요. 칸을 누르거나 끌면 칠해지고, 다시 누르면 지워져요. 칠한 칸은 1, 빈칸은 0이 됩니다.

내 그림을 나타내는 행렬 A

칸에 손가락이나 마우스를 올리면 (i, j) 성분을 알려 줘요.

Q1. 내 그림을 나타내는 행렬 A는 몇 행 몇 열의 행렬인가요?

행 열

정답 5행 5열 (5×5 행렬)

Q2. 내 그림에서 행렬 A의 (1, 5) 성분은 얼마인가요? (1행 5열 칸을 보세요)

정답 학생마다 달라요. 1행 5열(맨 윗줄 맨 오른쪽) 칸을 칠했으면 1, 아니면 0. 지금 교사 화면의 그림 기준 정답: 0

사진도 똑같아요. 스마트폰 사진은 가로·세로 수천 칸(픽셀)으로 되어 있어요. 흑백 사진은 칸마다 밝기를 0~255 숫자로, 컬러 사진은 빨강·초록·파랑 세 숫자로 저장해요. AI에게 사진은 아주 큰 행렬입니다.

2. 같은 자리끼리 곱해서 더하기

AI는 정답 모양을 담은 틀 행렬 T를 가지고 있어요. 내 그림 A와 틀 T가 얼마나 겹치는지 계산해 봅시다.

비교할 틀:

같은 자리 성분끼리 곱하면 둘 다 1인 칸만 1이 되고 나머지는 0이 돼요. 그래서 모두 더한 값은 겹친 칸의 수이고, 이것을 일치 점수라고 부를게요.

방금 한 계산은 사실 '행렬의 곱셈'이에요

5×5는 너무 크니까, 작은 2×2 그림으로 확인해 봅시다. 같은 색 칸끼리 짝이에요.

①

방금 한 방법 · 같은 자리끼리 곱해서 더하기

②

행렬을 한 줄로 펴기 · A는 1행부터 차례로 가로로 늘어놓고(1×4 행렬), T는 같은 순서로 세로로 세워요(4×1 행렬).

③

행렬의 곱셈 · 행렬의 곱셈에서 배운 대로 행의 성분과 열의 성분을 차례로 곱해서 더하면

Q3. 그림 행렬 A와 틀 행렬 T의 일치 점수를 구하세요.

일치 점수 =

정답 2 (1×1 + 0×1 + 1×0 + 1×1 = 2)

Q4. 다음 행렬의 곱을 계산하세요.

결과 = ( )

정답 (3) (1×1 + 1×1 + 0×1 + 1×1 = 3, 결과는 1×1 행렬)

Q5. 5×5 그림 행렬을 한 줄로 펴면 몇 행 몇 열의 행렬이 되나요?

행 열

정답 1행 25열 (1×25 행렬). 틀은 25×1 행렬로 세워서 곱해요.

3. AI 판별 실험실

AI는 틀 ○, ×, + 세 개와 각각 일치 점수를 계산하고, 점수가 가장 높은 틀로 판단해요. 그림을 그려서 AI를 시험해 보세요.

AI의 판단

도전 과제

정답
① × 모양 그대로 그리기 → ×9점, ○0점, +1점
② 가운데 한 칸만 칠하기 → ×1점, +1점 동점 (×와 +가 겹치는 칸)
③ 모두 칠하기 → ○12점, ×9점, +9점이라 ○로 판단

✓
AI가 ×라고 판단하게 그리기일치 점수에서 ×가 혼자 1등이면 성공
✓
AI가 헷갈리게 만들기1등 점수가 두 개 이상 같으면 성공
✓
25칸을 모두 칠하고 AI의 판단 보기어떤 틀이 이기는지 확인하세요

모두 칠했더니 AI가 ○라고 했어요. 왜 그럴까요? (틀마다 1인 칸의 개수를 세어 보세요)

정답 예시: ○ 틀은 1인 칸이 12개로 ×(9개), +(9개)보다 많다. 모두 칠하면 틀의 1인 칸과 모두 겹치므로 1인 칸이 가장 많은 ○의 점수가 가장 높다. 일치 점수는 겹친 칸만 세고, 틀 밖에 칠해도 손해가 없기 때문이다.

감점 규칙 켜기 · 지금은 아무 데나 많이 칠해도 손해가 없어요. 그래서 틀 밖에 칠한 칸은 1점씩 깎는 규칙을 더해 봐요.
도전 과제 3을 해결하면 켤 수 있어요.

4. 감점 규칙으로 점수 구하기

3단계에서 본 감점 규칙을 이번에는 직접 계산해 봐요. 방법은 2단계와 똑같고, 틀 T 대신 새 틀 W를 쓰는 것만 달라요.

예제 · 2단계의 2×2 그림으로 다시 계산하기

①

새 틀 W 만들기 · 틀 T에서 0을 -1로 바꿔요.

②

같은 자리끼리 곱해서 더하기

③

행렬의 곱셈으로 쓰기 · A를 1×4로 펴고 W를 4×1로 세워서 곱해요.

같은 그림인데 일치 점수는 2, 감점 규칙 점수는 1이에요. 틀 밖에 칠한 칸(파란 칸) 하나 때문에 1점이 깎였어요.
확인: (틀 안에 칠한 칸 2) − (틀 밖에 칠한 칸 1) = 1

Q6. 틀 T를 새 틀 W로 바꾸세요.

→

정답 W = [ -1 1 / 1 -1 ] (0인 칸을 -1로)

Q7. 그림 A와 Q6의 새 틀 W로 감점 규칙 점수를 구하세요.

감점 규칙 점수 =

정답 1 (1×(-1) + 1×1 + 1×1 + 0×(-1) = 1)

Q8. 3×3 그림 A를 × 모양 틀 T로 판별해요. 빈칸을 채우세요.

틀 안에 칠한 칸 개, 틀 밖에 칠한 칸 개 → 감점 규칙 점수

정답 틀 안 1개(가운데), 틀 밖 4개 → 1 − 4 = -3

Q9. 그림 A와 새 틀 W가 다음과 같아요. A를 1×4 행렬로 펴고 W를 4×1 행렬로 세워서 곱하면, 그 결과가 곧 감점 규칙 점수예요. 행렬의 곱을 구하세요.

결과 = ( )

정답 (-1) (1×(-1) + 1×(-1) + 0×1 + 1×1 = -1) → 감점 규칙 점수 -1점

Q10. 5×5 그림 A를 3단계의 ○ 틀(1인 칸 12개)로 판별해요. A를 어떻게 그려야 ○ 틀에 대한 감점 규칙 점수가 가장 클까요? 그때의 감점 규칙 점수를 구하세요.

점

정답 12점. ○ 틀 안 12칸만 칠하고 틀 밖은 하나도 칠하지 않을 때 12 − 0 = 12

5. 정리하기

오늘 한 것을 내 말로 정리하고, 소감까지 모두 적으면 활동 완료 도장을 받을 수 있어요.

① AI가 그림을 판별한 과정을 설명해 보세요. '행렬', '성분', '곱', '합' 네 단어를 모두 넣어 보세요.

정답 예시: 그림을 칠한 칸은 1, 빈칸은 0인 행렬로 나타낸다. 이 행렬과 틀 행렬의 같은 위치 성분끼리 곱한 뒤 모두 합하여 일치 점수를 구하고, 점수가 가장 큰 틀의 모양으로 판단한다.

② 감점 규칙에서 새 틀 W의 -1은 어떤 역할을 했나요?

정답 예시: 틀 밖에 칠한 칸마다 1점씩 깎아서, 아무 데나 많이 칠한 그림이 높은 점수를 받지 못하게 한다. 칸마다 점수에 주는 영향(중요도)을 다르게 정해 주는 역할로, 다음 시간의 가중치와 연결된다.

③ 실제 사진(수천×수천 칸)을 판별하려면 어떤 점이 어려울까요? 더 궁금한 점도 적어 보세요.

정답 예시(개방형): 칸이 수백만 개라 계산량이 매우 많다 / 모양의 위치·크기·기울기가 조금만 달라도 틀과 겹치지 않는다 / 컬러 사진은 빨강·초록·파랑 행렬 3개가 필요하다 / 틀(가중치)을 사람이 일일이 정하기 어렵다 → AI가 데이터로 가중치를 스스로 학습한다.

④ 오늘 활동 소감 새로 알게 된 점, 재미있었던 점, 어려웠던 점

정답 자유롭게 작성해요.

나의 활동 기록

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다음 시간 예고: 가중치 행렬

오늘 쓴 +1과 -1처럼, 칸마다 '얼마나 중요한지'를 숫자로 정한 행렬을 가중치 행렬이라고 해요. 다음 시간에는 가중치를 바꾸면 AI의 판단이 어떻게 달라지는지, 그리고 AI가 가중치를 스스로 고쳐 가는 방법을 알아봅니다.